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是的，酷狗音乐平台上的单曲购买确实有可能在购买歌曲后自动开启一天的会员服务。这是为了吸引用户并鼓励购买单曲或专辑的一种促销策略。当用户购买单曲后，平台可能会赠送一定的会员时长，让用户享受到更多的会员特权，如高品质音乐、离线播放等。

不过，具体的操作可能会因平台政策或活动而异，有些情况下，这种自动开启的会员服务可能是暂时的，或者只在特定的时间段内有效，如果想要了解更多关于酷狗音乐会员服务的详细信息，建议查看官方网站的说明或联系客服进行咨询。